Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位，若直線l的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，且點(diǎn)P是曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）將直線l的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由題意P（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），從而點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2sin（θ+60°）-1|}{\sqrt{2}}$，由此能求出點(diǎn)P到直線l的距離的最大值與最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=4，
由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y=4．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4．
（Ⅱ）∵點(diǎn)P是曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴P（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），
點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2sin（θ+60°）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最大值d_max=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
點(diǎn)P到直線l的距離的最小值d_min=$\frac{|2-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)到直線的最大值與最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．