Question

5．已知圓C：x²+y²-6x-4y+4=0，點(diǎn)P（6，0）．
（1）求過(guò)點(diǎn)P且與圓C相切的直線方程l；
（2）若圓M與圓C外切，且與x軸切于點(diǎn)P，求圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切線l的方程為x=λy+6，由點(diǎn)到直線的距離公式得$\frac{|3-2λk-6|}{{\sqrt{1+{λ^2}}}}=3$，解得λ=$\frac{12}{5}$或λ=0，即可求過(guò)點(diǎn)P且與圓C相切的直線方程l；
（2）設(shè)圓心M（6，b），則半徑r=|b|，要使圓M與圓C外切，則須有：|MC|=3+|b|，求出b，即可求圓M的方程．

解答 （1）解：圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-3）²+（y-2）²=9…（1分）
故圓心坐標(biāo)為C（3，2）半徑r=3．
設(shè)切線l的方程為x=λy+6…（2分）
即x-λy-6=0，由點(diǎn)到直線的距離公式得$\frac{|3-2λk-6|}{{\sqrt{1+{λ^2}}}}=3$，解得λ=$\frac{12}{5}$或λ=0．
所以切線l的方程為  5x-12y-30=0或x=6…（5分）
（2）設(shè)圓心M（6，b），則半徑r=|b|
∴要使圓M與圓C外切，則須有：|MC|=3+|b|…（8分）
∴$\sqrt{{{（6-3）}^2}+{{（b-2）}^2}}=|b|+3$化簡(jiǎn)得4b+6|b|=4解得$b=\frac{2}{5}$或b=-2
所以圓M的方程為${（x-6）^2}+{（y-\frac{2}{5}）^2}=\frac{4}{25}$或（x-6）²+（y+2）²=4．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．