Question

已知數列{a_n}和{b_n}，a_n=n，b_n=2ⁿ，定義無窮數列{c_n}如下：a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…
（1）寫出這個數列{c_n}的一個通項公式（不能用分段函數）
（2）指出32是數列{c_n}中的第幾項，并求數列{c_n}中數值等于32的兩項之間（不包括這兩項）的所有項的和
（3）如果c_x=c_y（x，y∈N^*，且x＜y），求函數y=f（x）的解析式，并計算c_x+1+c_x+3+…+c_y（用x表示）

Answer 1

分析：（1）寫出滿足題意的一個通項公式即可；
（2）利用等差數列與等比數列的通項公式可確定32是數列{c_n}中的第10項與第63項，采用分組求和的方法可以解決；
（3）經過推敲可以求得y=f（x）的解析式，從而計算c_x+1+c_x+3+…+c_y．

解答：解：（1）a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…
    即n，2ⁿ，n，2ⁿ，n，2ⁿ，n，2ⁿ，…
    不妨：cn= [1+(-1)n+1] •

(n+1)

4

+[1+(-1)n] •2

n

2

- 1；
    （2）32=a₃₂=b₅，b₅=c₁₀，a₃₂=c₆₃；
    數列{c_n}中數值等于32的兩項之間（不包括這兩項）的所有項的和為：
    a₆+a₇+…+a₃₁+b₆+b₇+…+b₃₁=

26(6+31)

2

-（2⁶-2³²）=481-64+2³²=4294967713．
（3）∵c_x=c_y（x，y屬于正整數，且x＜y），
∴y=2(

x

2

+1)-1．
c_x+1+c_x+3+…+c_y=

[2 x 2 - x 2 ][ x 2 +1+2 x 2 ]

2

-2(

x

2

+1)+2[2

x

2

]．

點評：本題考查數列的求和，難點在于對數列公式的推敲及其求和的思維，屬于難題．