Question

18．（1）由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無重復數(shù)字的七位數(shù)，求三個偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個數(shù)及三個偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個數(shù)；
（2）六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
①每組兩本；
②一組一本，一組二本，一組三本．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，（1）若三個偶數(shù)必相鄰，分3步進行分析：①、先將1、3、5、7四個奇數(shù)數(shù)字全排列，排好后，有5個空位可選，②、將3個偶數(shù)數(shù)字看成一個整體，③、在5個空位中任選1個，安排3個偶數(shù)數(shù)字這個整體，由分步計數(shù)原理計算可得答案，
若三個偶數(shù)互不相鄰，分2步進行分析：①、先將1、3、5、7四個奇數(shù)數(shù)字全排列，有5個空位可選，②、在5個空位中，任選3個，安排三個偶數(shù)數(shù)字，由分步計數(shù)原理計算可得答案，
（2）①、由平均分組公司直接計算即可得答案；
②、分3步分析：先在6本書中先取出1本，作為一組，再在剩下的5本書中取出2本，作為一組，最后將余下的3本作為1組，由分步計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，若三個偶數(shù)必相鄰，分3步進行分析：
①、先將1、3、5、7四個奇數(shù)數(shù)字全排列，有A₄⁴=24種情況，
排好后，有5個空位可選，
②、將3個偶數(shù)數(shù)字看成一個整體，考慮其順序，有A₃³=6種情況，
③、在5個空位中任選1個，安排3個偶數(shù)數(shù)字這個整體，有5種情況，
則三個偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)有24×6×5=720個；
若三個偶數(shù)互不相鄰，分2步進行分析：
①、先將1、3、5、7四個奇數(shù)數(shù)字全排列，有A₄⁴=24種情況，
排好后，有5個空位可選，
②、在5個空位中，任選3個，安排三個偶數(shù)數(shù)字，有A₅³=60種情況，
則三個偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)有24×60=1440種；
（2）①根據(jù)題意，將6本書分成3組，每組2本，即將6本書平均分成3組，
有$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}$=15種分組方法；
②將6本書分成3組，一組一本，一組二本，一組三本，
在6本書中先取出1本，作為一組，有C₆¹種分發(fā)，
在剩下的5本書中取出2本，作為一組，有C₅²種分發(fā)，
將最后的3本作為1組，有C₃³種情況，
則共有$C_6^1C_5^2C_3^3$=60種分法．

點評 本題考查排列、組合的實際應用，（2）中注意平均分組與不平均分組公司的不同．