Question

6．已知橢圓C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞c）的左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），過原點O的直線（與x軸不重合）與橢圓C相交于D、Q兩點，且|DF₁|+|QF₁|=4，P為橢圓C上的動點，△PF₁F₂的面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過左焦點F₁的任意直線與橢圓C相交于S、T兩點，求$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a，再由，△PF₁F₂的面積的最大值為$\sqrt{3}$得到bc=$\sqrt{3}$，結(jié)合隱含條件求得b，c的值，則橢圓離心率可求；
（2）由（1）求出橢圓方程，當(dāng)直線ST的斜率不存在時，求出S，T的坐標(biāo)，可得$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的值；當(dāng)直線ST的斜率存在時，設(shè)直線ST的方程為y=m（x+1），將直線ST的方程y=m（x+1）代入橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知，2a=4，a=2．
又bc=$\sqrt{3}$，且b²+c²=4，解得b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
當(dāng)直線ST的斜率不存在時，有S（-1，$\frac{3}{2}$）、T（-1，$-\frac{3}{2}$），
此時$\overrightarrow{OS}•\overrightarrow{OT}=-\frac{5}{4}$．
當(dāng)直線ST的斜率存在時，設(shè)直線ST的方程為y=m（x+1），
再設(shè)點S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
將直線ST的方程y=m（x+1）代入橢圓方程消去y并整理得：
（4m²+3）x²+8m²x+4m²-12=0．
得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8{m}^{2}}{4{m}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{4{m}^{2}+3}$．
從而$\overrightarrow{OS}•\overrightarrow{OT}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+{m}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）$
=$（{m}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+{m}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{（{m}^{2}+1）（4{m}^{2}-12）}{4{m}^{2}+3}+\frac{-8{m}^{4}}{4{m}^{2}+3}+\frac{4{m}^{4}+3{m}^{2}}{4{m}^{2}+3}$
=$\frac{-5{m}^{2}-12}{4{m}^{2}+3}$=$-4+\frac{11{m}^{2}}{4{m}^{2}+3}=-\frac{5}{4}-\frac{33}{4{m}^{2}+3}$∈[-4，-$\frac{5}{4}$）．
綜上所述，$\overrightarrow{OS}$$•\overrightarrow{OT}$的取值范圍為[-4，-$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．