Question

10．如圖，D、C是以AB為直徑的⊙O上被AB分在同一側上兩點，$\widehat{DC}$=$\widehat{CB}$，對角線AC交BD于點E，AE=2EC=2．
（1）求證四邊形ABCD為梯形；
（2）求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及相似三角形的性質(zhì)，圓周角定理可知$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，從而可證∠DCA=∠CAB，進而得到DC∥AB，即可證明四邊形ABCD為梯形．
（2）由已知及（1）可知，△COB為正三角形，∠CAO=30°，可求梯形的高h=ACsin∠CAO，進而由余弦定理DC，AB的值，利用梯形的面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）證明：過C點作CH∥DB，交AB延長線于H．（如圖），連接OC，
∵△AEB≈△ACH，
∵BH：AB=EC：AE=1：2
∵BH=$\frac{1}{2}$AB，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{CB}$，
∴C是弧DB中點
∵∠DAB=∠COB （圓周角=$\frac{1}{2}$同弧圓心角），
∠DBA=∠CHO，
∵△ADB≌△OCH，
∵∠OCH=∠ADB=90°，
  CH為切線，
∵∠CHA=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$=∠DBA=$\widehat{AD}$，
∵D為劣弧AC的中點，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∵∠DCA=∠CAB，
∵DC∥AB，
∵四邊形ABCD為梯形．
（2）∵由已知及（1）可知，△COB為正三角形，∠CAO=30°，
∴梯形的高h=ACsin∠CAO=（2+1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴設⊙O的半徑為r，則在△AOC中，由余弦定理可得：9=r²+r²-2r²×（-$\frac{1}{2}$），解得：r=$\sqrt{3}$，
即可得：DC=$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，
∴梯形面積S=$\frac{（\sqrt{3}+2\sqrt{3}）×\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，圓周角定理，梯形的面積公式的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．