分析 作出圖象,由題意可得OA=b,OB=a,設OM=x,∠OMA=α,∠OMB=β,由三角函數的定義可得tanα=$\frac{x}$,tanβ=$\frac{a}{x}$,再由兩角差的正切公式可得tan(β-α)=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{x}}{1+\frac{ab}{{x}^{2}}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$,由基本不等式可得.
解答 解:如圖所示觀察者在M處,A、B為畫的下、上邊緣,
由題意可得OA=b,OB=a,設OM=x,∠OMA=α,∠OMB=β,
則分別在直角三角形中可得tanα=$\frac{x}$,tanβ=$\frac{a}{x}$,
∴tan(β-α)=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$
=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{x}}{1+\frac{ab}{{x}^{2}}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$≤$\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$
當且僅當x=$\frac{ab}{x}$即x=$\sqrt{ab}$時取等號,
由∵y=tanx在(0,$\frac{π}{2}$)為增函數,
∴當x=$\sqrt{ab}$時,視角最大.
即觀察者離此畫$\sqrt{ab}$米時,才能使得視角最大.
故答案為:$\sqrt{ab}$
點評 本題考查基本不等式求最值的實際應用,涉及正切函數的單調性和兩角差的正切公式,屬中檔題.考查學生的轉化能力.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,$\frac{1}{2}$) | B. | (-1,2) | C. | ($\frac{1}{2}$,2) | D. | (-2,1) |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | [0,1) | B. | [0,1] | C. | [0,$\sqrt{5}$) | D. | [0,$\sqrt{5}$] |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{100}{101}$ | B. | $\frac{200}{101}$ | C. | 2 | D. | $\frac{198}{101}$ |
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