Question

2．有一幅圖畫(huà)掛在墻上，它的下方在觀察者眼睛上方a米處，它的上方在觀察者眼睛上方b米處．觀察者離此畫(huà)$\sqrt{ab}$米才能使得視角最大．

Answer 1

分析 作出圖象，由題意可得OA=b，OB=a，設(shè)OM=x，∠OMA=α，∠OMB=β，由三角函數(shù)的定義可得tanα=$\frac{x}$，tanβ=$\frac{a}{x}$，再由兩角差的正切公式可得tan（β-α）=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{x}}{1+\frac{ab}{{x}^{2}}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$，由基本不等式可得．

解答 解：如圖所示觀察者在M處，A、B為畫(huà)的下、上邊緣，
由題意可得OA=b，OB=a，設(shè)OM=x，∠OMA=α，∠OMB=β，
則分別在直角三角形中可得tanα=$\frac{x}$，tanβ=$\frac{a}{x}$，
∴tan（β-α）=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$
=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{x}}{1+\frac{ab}{{x}^{2}}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$≤$\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{ab}{x}$即x=$\sqrt{ab}$時(shí)取等號(hào)，
由∵y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\sqrt{ab}$時(shí)，視角最大．
即觀察者離此畫(huà)$\sqrt{ab}$米時(shí)，才能使得視角最大．
故答案為：$\sqrt{ab}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值的實(shí)際應(yīng)用，涉及正切函數(shù)的單調(diào)性和兩角差的正切公式，屬中檔題．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．