Question

7．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊．
（Ⅰ）若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀．
（Ⅱ）若△ABC面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，c=2，A=60°$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理可將acosA=bcosB轉化為sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦與三角形的性質(zhì)計算即可．
（Ⅱ）利用△ABC面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，直接求出b，通過余弦定理求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵acosA=bcosB，
∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵0＜A，B＜π，
∴2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
（Ⅱ）∵△ABC面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，c=2，A=60°$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴b=1，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=1+4-4×$\frac{1}{2}$=3．
∴a=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角形的形狀判斷，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式的應用，考查計算能力，是中檔題．