Question

2．已知命題p：實數(shù)m滿足：方程$\frac{x^2}{m-3a}+\frac{y^2}{m-4a}=1\;（a＞0）$表示雙曲線；
命題q：實數(shù)m滿足方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{2-m}=1$表示焦點在y軸上的橢圓．
（1）若命題q為真命題，求m的取值范圍；
（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義得到關(guān)于m的不等式，解出即可；
（2）關(guān)于雙曲線的定義解出關(guān)于p的不等式，結(jié)合充分必要條件的定義得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）因為命題q為真命題，
∴2-m＞m-1＞0，
∴1＜m＜$\frac{3}{2}$；
（2）方程$\frac{x^2}{m-3a}+\frac{y^2}{m-4a}=1\;（a＞0）$表示雙曲線；
則（m-3a）（m-4a）＜0，（a＞0），
解得：3a＜m＜4a，
∵p是q的充分不必要條件，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{8}$．

點評 本題考查了充分必要條件，考查橢圓、雙曲線的定義，是一道基礎(chǔ)題．