Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)D（-2，0）為橢圓C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)D與橢圓C的短軸端點(diǎn)的距離為$\sqrt{5}$，過點(diǎn)M（1，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線l，使得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，a=2，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，可得b=1，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$，則y₂=-3y₁，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入橢圓方程可得（m²+4）y²+2my-3=0，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，a=2，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$，則y₂=-3y₁，①
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入橢圓方程可得（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$②，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$③，
由①③可得3y₁²=$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，由①②可得-2y₁=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，
消去y₁得m²=m²+4，不成立，
∴不存在直線l，使得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．