Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（1）若P為DF的中點，求證：BF∥平面ACP
（2）若直線PC與平面FAD所成角的正弦值為

2

3

，求PF的長度．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，交AC于點O，連接OP．利用OP為三角形BDF中位線，可得BF∥OP，利用線面平行的判定，可得BF∥平面ACP；
（2）由已知中平面ABEF⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AF⊥平面ABCD，進(jìn)而AF⊥CD，結(jié)合四邊形ABCD為矩形及線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面FAD，故∠CPD就是直線PC與平面FAD所成角，進(jìn)而解三角形求出DF和PD，進(jìn)而可得PF的長度．

解答： 證明：（1）連接BD，交AC于點O，連接OP．
∵P是DF中點，O為矩形ABCD對角線的交點，
∴OP為三角形BDF中位線，…（3分）
∴BF∥OP，
又∵BF?平面ACP，OP?平面ACP，
∴BF∥平面ACP．   …（6分）
解：（2）∵∠BAF=90°，
∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD，…（8分）
∴AF⊥CD
∵四邊形ABCD為矩形
∴AD⊥CD                …（10分）
又∵AF∩AD=A，AF，AD?平面FAD
∴CD⊥平面FAD
∴∠CPD就是直線PC與平面FAD所成角…（12分）
∴sin∠CPD=

2

3

，
又∵AD=2，AB=CD=AF=1，
∴DF=

AD2+AF2

=

5

，PD=

PC2-CD2

=

( 3 2 CD)2-CD2

=

5

2

，
∴得PF=DF-PD=

5

2

                        …（14分）

點評：本題考查線面平行，考查線面夾角，其中（2）的關(guān)鍵是證明∠CPD就是直線PC與平面FAD所成角．