Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y²=2px上一點到焦點F的距離與到y(tǒng)軸的距離的差為1．
（1）求拋物線的方程；
（2）過F作直線交拋物線于A，B兩點，且A，B關于x軸的對稱點分別為A′，B′，四邊形AA′BB′的面積為S，求

S

|AB|2

的最大值，并求出此時直線AB的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知

p

2

=1；
（2）設A（

y12

4

，y1），B（

y22

4

，y₂），直線AB的方程為x=ky+1．由梯形面積公式及弦長公式可表示

S

|AB|2

，由

y2=4x x=ky+1

，得y²-4ky-4=0，y₁+y₂=4k，代入韋達定理得

S

|AB|2

為k的函數(shù)，利用基本不等式可求其最大值；

解答： 解：（1）由題意知

p

2

=1，∴p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x．
（2）設A（

y12

4

，y1），B（

y22

4

，y₂），直線AB的方程為x=ky+1．
于是S=

1

2

|2y1-2y2|•|

y12

4

-

y22

4

|=

1

4

(y1-y2)2|y1+y2|，
|AB|=

1+k2

|y₁-y₂|，于是

S

|AB|2

=

1

4

•

|y1+y2|

1+k2

，
又由

y2=4x x=ky+1

，得y²-4ky-4=0，y₁+y₂=4k，
于是

S

|AB|2

=

1

4

•

|y1+y2|

1+k2

=

|k|

1+k2

=

1

|k|+ 1 |k|

≤

1

2

，當且僅當k=±1時，等號成立．
∴

S

|AB|2

的最大值為

1

2

，此時直線AB的斜率也為±1．

點評：該題考查拋物線的方程、性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查方程思想，弦長公式、韋達定理是該類問題常用知識，要熟練掌握．