分析 (Ⅰ)求出f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),求導(dǎo)數(shù),若a≤0,若a>0,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),然后推出函數(shù)的單調(diào)性.
(Ⅱ)不妨設(shè)x1≤x2,而a<0,由(Ⅰ)知,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價(jià)于?x1,x2∈(0,+∞),4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),令g(x)=4x-f(x),通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值,推出結(jié)果.
解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=x+1−a−ax=x2+(1−a)x−ax=(x+1)(x−a)x,
若a≤0,則f'(x)>0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
若a>0,則由f'(x)=0得x=a,當(dāng)0<x<a時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>a時(shí),f'(x)>0,
此時(shí)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)不妨設(shè)x1≤x2,而a<0,由(Ⅰ)知,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x1)≤f(x2)
從而?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價(jià)于
?x1,x2∈(0,+∞),4x1-f(x1)≥4x2-f(x2)①
令g(x)=4x-f(x),則g′(x)=4−f′(x)=4−(x+1−a−ax)=ax−x+3+a,
因此,①等價(jià)于g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g′(x)=ax−x+3+a≤0對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x2−3xx+1對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤(x2−3xx+1)min,
又x2−3xx+1=x+1+4x+1−5≥2√(x+1)•4x+1−5=−1,
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1,即x=1時(shí),等號(hào)成立.
∴a≤-1,
故a的取值范圍為(-∞,-1].
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法,考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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