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16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD.E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°.
(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(2)若二面角P-CD-A的大小為45°,求二面角P-CE-B的余弦值.

分析 (1)延長AB交直線CD于點(diǎn)M,證明CM∥BE,即可使得直線CM∥平面PBE;
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AD=2,則BC=CD=12AD=1.求出平面的法向量,即可求二面角P-CE-B的余弦值.

解答 解:(1)延長AB交直線CD于點(diǎn)M,
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),∴AE=ED=12AD
BC=CD=12AD,∴ED=BC,
∵AD∥BC,即ED∥BC.∴四邊形BCDE為平行四邊形,即EB∥CD.
∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,
∵BE?平面PBE,CM?PBE∴CM∥平面PBE,…(4分)
∵M(jìn)∈AB,AB?平面PAB,∴M∈平面PAB,故在平面PAB內(nèi)可以找到一點(diǎn)M(M=AB∩CD),使得直線CM∥平面PBE…(6分)
(2)如圖所示,∵∠ADC=∠PAB=90°,異面直線PA與CD所成的角為90°,即AP⊥CD又AB∩CD=M,
∴AP⊥平面ABCD. 
又∠ADC=90°即CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD.
因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,其大小為45°.
∴PA=AD.                                   …(8分)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AD=2,則BC=CD=12AD=1
∴P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),B(-1,1,0)
EC=110,PE=(0,1,-2),AP=002,
易知平面BCE的法向量為n1=AP=002
設(shè)平面PCE的法向量為n2=xyz,則{n2PE=0n2EC=0,可得:{y2z=0x+y=0
令y=2,則x=2,z=1,∴n2=221.   …(10分)
設(shè)二面角P-CE-B的平面角為θ,
cosθ=|cos<{\overrightarrow n_1},{\overrightarrow n_2}>|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{2}{{\sqrt{9}×2}}=\frac{1}{3}
∴二面角P-CE-B的余弦值為\frac{1}{3}.            …(12分)

點(diǎn)評 本題考查線面平行,考查線面角,考查向量知識的運(yùn)用,屬于中檔題.

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