分析 (1)延長AB交直線CD于點(diǎn)M,證明CM∥BE,即可使得直線CM∥平面PBE;
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AD=2,則BC=CD=12AD=1.求出平面的法向量,即可求二面角P-CE-B的余弦值.
解答 解:(1)延長AB交直線CD于點(diǎn)M,
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),∴AE=ED=12AD,
∵BC=CD=12AD,∴ED=BC,
∵AD∥BC,即ED∥BC.∴四邊形BCDE為平行四邊形,即EB∥CD.
∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,
∵BE?平面PBE,CM?PBE∴CM∥平面PBE,…(4分)
∵M(jìn)∈AB,AB?平面PAB,∴M∈平面PAB,故在平面PAB內(nèi)可以找到一點(diǎn)M(M=AB∩CD),使得直線CM∥平面PBE…(6分)
(2)如圖所示,∵∠ADC=∠PAB=90°,異面直線PA與CD所成的角為90°,即AP⊥CD又AB∩CD=M,
∴AP⊥平面ABCD.
又∠ADC=90°即CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD.
因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,其大小為45°.
∴PA=AD. …(8分)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AD=2,則BC=CD=12AD=1.
∴P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),B(-1,1,0)
∴→EC=(−1,1,0),→PE=(0,1,-2),→AP=(0,0,2),
易知平面BCE的法向量為→n1=→AP=(0,0,2)
設(shè)平面PCE的法向量為→n2=(x,y,z),則{→n2•→PE=0→n2•→EC=0,可得:{y−2z=0−x+y=0.
令y=2,則x=2,z=1,∴→n2=(2,2,1). …(10分)
設(shè)二面角P-CE-B的平面角為θ,
則cosθ=|cos<{\overrightarrow n_1},{\overrightarrow n_2}>|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{2}{{\sqrt{9}×2}}=\frac{1}{3}.
∴二面角P-CE-B的余弦值為\frac{1}{3}. …(12分)
點(diǎn)評 本題考查線面平行,考查線面角,考查向量知識的運(yùn)用,屬于中檔題.
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A. | 若p:?x∈R,x2-x+1≥0,則¬p:?x∈R,x2-x+1<0 | |
B. | “sinθ=\frac{1}{2}”是“θ=30°或θ=150°”的充分不必要條件 | |
C. | 命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a≠0,則ab≠0” | |
D. | 已知p:?x∈R,cosx=1,q:?x∈R,x2-x+2>0,則“p∧(¬q)”為假命題 |
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A. | 2\sqrt{6}-5 | B. | -5 | C. | 2\sqrt{6}+5 | D. | 5 |
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