Question

9．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數），直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），在以坐標原點O為極點，x軸為正半軸為極軸的極坐標系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為（2$\sqrt{3}$，θ），其中θ∈（$\frac{π}{2}$，π）
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程，利用點A的極坐標為（2$\sqrt{3}$，θ），θ∈（$\frac{π}{2}$，π），即可求θ的值；
（Ⅱ）若射線OA與直線l相交于點B，求出A，B的坐標，即可求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數），普通方程為x²+（y-2）²=4，極坐標方程為ρ=4sinθ，
∵點A的極坐標為（2$\sqrt{3}$，θ），θ∈（$\frac{π}{2}$，π），∴θ=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），普通方程為x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0，
點A的直角坐標為（-$\sqrt{3}$，3），射線OA的方程為y=-$\sqrt{3}$x，
代入x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0，可得B（-2$\sqrt{3}$，6），∴|AB|=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三種方程的轉化，考查兩點間距離公式的運用，屬于中檔題．