Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\;-2\sqrt{2}）$，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l⊥x軸，點(diǎn)M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于點(diǎn)P．
（1）求橢圓C的方程．
（2）求證：AP⊥OM．
（3）試問(wèn)：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率可的a，b的關(guān)系，再由已知求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)直線BM的方程為y=k（x-4），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得M的坐標(biāo)，然后分別求出AP、OM所在直線的斜率，由斜率之積等于-1可得AP⊥OM；
（3）由（2）可知$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，$-\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{OM}$=（-4，-8k），由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$為定值16．

解答 （1）解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，∴a²=2b²，
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\;-2\sqrt{2}）$，
∴b=2$\sqrt{2}$，則a²=16，
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$；
（2）證明：設(shè)直線BM的方程為y=k（x-4），
由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{x^2}+2{y^2}=16}\end{array}}\right.$消去y得：（1+2k²）x²-16k²x+32k²-16=0，
設(shè)P（x₁，y₁），則有${x}_{1}+4=\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，解得：${x}_{1}=\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∴${y}_{1}=-\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，即點(diǎn)P（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，$-\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
由y=k（x-4），令x=-4得y=-8k，即M（-4，-8k），
 ${k_{AP}}=-\frac{1}{2k}，{k_{OM}}=2k$，
∵k_AP•k_OM=-1，∴AP⊥OM；
（3）解：由（2）可知$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，$-\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
$\overrightarrow{OM}$=（-4，-8k），
則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$=$-4•\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}+\frac{64{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=\frac{32{k}^{2}+16}{1+2{k}^{2}}=16$．
故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$為定值16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．