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12.曲線f(x)=ax2(a>0)與g(x)=lnx有兩條公切線,則a的取值范圍為( �。�
A.(0,\frac{1}{e}}B.(0,\frac{1}{2e}}C.1e,+∞)D.{\frac{1}{2e},+∞)

分析 分別求出導(dǎo)數(shù),設(shè)出各自曲線上的切點(diǎn),得到切線的斜率,再由兩點(diǎn)的斜率公式,結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程,可得切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式,整理得到關(guān)于一個(gè)坐標(biāo)變量的方程,由已知的兩條切線得到方程有兩個(gè)解,借助于函數(shù)的極值和最值,即可得到a的范圍.

解答 解:y=ax2的導(dǎo)數(shù)y′=2ax,y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1x
設(shè)與y=ax2相切的切點(diǎn)為(s,t),與曲線g(x)=lnx相切的切點(diǎn)為(m,n)m>0,則有公共切線斜率為2as=1m=tnsm,
又t=as2,n=lnm,
即有2as=1m=as2lnmsm,整理得as2-ln(2as)-1=0
設(shè)f(s)=as2-ln(2as)-1,所以f'(s)=2as-2a2as=2as21s,因?yàn)閍>0,s>0,
所以由f'(s)>0得到
當(dāng)s>12a時(shí),f′(s)>0,f(s)單調(diào)遞增,
當(dāng)0<s<12a時(shí),f′(s)<0,f(s)單調(diào)遞減.
即有s=12a處f(s)取得極小值,也為最小值,且為f(12a)=ln2a12
由恰好存在兩條公切線,即f(s)=0有兩解,由f(0)→+∞,s→∞,f(s)→+∞,
所以只要f(12a)<0可得a的范圍是a>12e
故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,且f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為(0,+∞).

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3.若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.
(1)使f(x)=0成立的x的集合為{-1,1,3};
(2)若1<x1<x2<2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是>;
(3)若1<x0<3,則f(x0)的符號(hào)為負(fù)(填“正”或“負(fù)”

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20.在極坐標(biāo)系中,圓A與圓C:ρ=2cosθ+4sinθ關(guān)于直線θ=\frac{3π}{4}對(duì)稱.
(1)求圓A的極坐標(biāo)方程;
(2)為圓A上任意一點(diǎn),求\overrightarrow{OP}\overrightarrow{OC}(其中O為極點(diǎn))的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.下列條件能判定平面α∥β的是(  )
①α∥γ且β∥γ      ②m⊥α且m⊥β       ③m∥α且m∥β       ④α⊥γ且β⊥γ
A.①③B.②④C.①②D.③④

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17.在直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C:ρ2(1+sin2θ)=2.
(Ⅰ)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,2),直線l與曲線C 的交點(diǎn)為A、B,求|MA|•|MB|的值.

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4.若復(fù)數(shù)z滿足z=i(i-1),則z為(  )
A.z=-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

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1.某幾何體的三視圖如圖所示,則幾何體的體積是( �。�
A.96B.192C.144D.240

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.復(fù)數(shù)\frac{4i}{i+1}的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(  )
A.-2B.2C.-1D.1

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