Question

12．曲線f（x）=ax²（a＞0）與g（x）=lnx有兩條公切線，則a的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （${\frac{1}{2e}$，+∞）

Answer 1

分析 分別求出導數(shù)，設出各自曲線上的切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，可得切點坐標的關系式，整理得到關于一個坐標變量的方程，由已知的兩條切線得到方程有兩個解，借助于函數(shù)的極值和最值，即可得到a的范圍．

解答 解：y=ax²的導數(shù)y′=2ax，y=lnx的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，
設與y=ax²相切的切點為（s，t），與曲線g（x）=lnx相切的切點為（m，n）m＞0，則有公共切線斜率為2as=$\frac{1}{m}$=$\frac{t-n}{s-m}$，
又t=as²，n=lnm，
即有2as=$\frac{1}{m}=\frac{a{s}^{2}-lnm}{s-m}$，整理得as²-ln（2as）-1=0
設f（s）=as²-ln（2as）-1，所以f'（s）=2as-$\frac{2a}{2as}$=$\frac{2a{s}^{2}-1}{s}$，因為a＞0，s＞0，
所以由f'（s）＞0得到
當s＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$時，f′（s）＞0，f（s）單調遞增，
當0＜s＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$時，f′（s）＜0，f（s）單調遞減．
即有s=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$處f（s）取得極小值，也為最小值，且為f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）=$-ln\sqrt{2a}-\frac{1}{2}$，
由恰好存在兩條公切線，即f（s）=0有兩解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，
所以只要f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）＜0可得a的范圍是a＞$\frac{1}{2e}$．
故選D．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，主要考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題