Question

15．如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD是菱形，PA⊥平面 ABCD，PA=3，F(xiàn) 是棱 PA 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E 為 PD 的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面 BDF⊥平面 PCF；
（Ⅱ）若 AF=1，求證：CE∥平面 BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD于O，證明BD⊥平面PAC，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）取PF中點(diǎn)G，連接EG，CG，連接FO．由三角形中位線定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面與平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，進(jìn)一步得到CE∥面BDF．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O，則AC⊥BD，
∵PA⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面 BDF，
∴平面 BDF⊥平面PAC，即平面 BDF⊥平面 PCF；
（Ⅱ）如圖所示，取PF中點(diǎn)G，連接EG，CG，連接FO．
由題可得F為AG中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，
∴FO∥GC；
又G為PF中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，
∴GE∥FD．
又GE∩GC=G，GE、GC?面GEC，
FO∩FD=F，F(xiàn)O，F(xiàn)D?面FOD．
∴面GEC∥面FOD．
∵CE?面GEC，
∴CE∥面BDF；

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查了線面垂直、面面垂直的證明，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．