Question

1．有一邊長為30cm的正方形鐵皮，把它的四個角各切去一個大小相同的正方形，然后折起，做成一個無蓋的長方體容器，按要求長方體的高不小于4cm且不大于10cm，試求長方體的最大體積．

Answer 1

分析 可設(shè)小正方形的邊長為xcm，并且4≤x≤10，結(jié)合圖形即可求出長方體的體積V（x）=4（x³-30x²+225x），求導(dǎo)數(shù)便得到V′（x）=12（x-5）（x-15），其中x∈[4，10]，這樣根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可求出V（x）的最大值，即得出長方體的最大體積．

解答 解：設(shè)切去的小正方形邊長為xcm，4≤x≤10，則長方體的體積為：
V（x）=（30-2x）²•x=4（x³-30x²+225x），4≤x≤10；
∴V′（x）=12（x-5）（x-15），4≤x≤10；
∴4≤x＜5時，V′（x）＞0，5＜x≤10時，V′（x）＜0；
∴x=5時，V（x）取最大值2000；
即長方體的最大體積為2000cm³．

點評 考查長方體的體積計算公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)最值的方法和過程，基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，清楚小正方形的邊長范圍．