Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x-alnx-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：對(duì)于?a∈（0，e），f（x）在區(qū)間$（\frac{a}{e}，1）$上有極小值，且極小值大于0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，f′（x）=e^x-$\frac{e}{x}$，f（1）=0，f′（1）=0，y=f（x）在（1，f（1））處切線方程為y=0；
（Ⅱ）由題意可知：f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，在（$\frac{a}{e}$，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則?x₀∈（$\frac{a}{e}$，1）使得${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，f（x）有極小值f（x₀），由${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x₀）＞0，即f（x）在區(qū)間$（\frac{a}{e}，1）$上有極小值，函數(shù)f（x）的極小值大于0．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-alnx-a，x＞0，
由a=e，則f（x）=e^x-e（lnx-1），求導(dǎo)f′（x）=e^x-$\frac{e}{x}$，
由f（1）=0，f′（1）=0，
∴y=f（x）在（1，f（1））處切線方程為y=0，
（Ⅱ）由a∈（0，e），則導(dǎo)f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，在（$\frac{a}{e}$，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
由f′（$\frac{a}{e}$）=${e}^{\frac{a}{e}}$-e＜0，f′（1）=e-a＞0，
則?x₀∈（$\frac{a}{e}$，1）使得${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，
∴?x∈（$\frac{a}{e}$，x₀），f′（x₀）＜0，?x∈（x₀，1），f′（x₀）＞0，
故f（x）在（$\frac{a}{e}$，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x）有極小值f（x₀），由${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，
則f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-a（lnx₀+1）=a（$\frac{1}{{x}_{0}}$-lnx₀-1），
設(shè)g（x）=a（$\frac{1}{x}$-lnx-1），x∈（$\frac{a}{e}$，1），
g′（x）=a（-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$）=-$\frac{a（1+x）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（$\frac{a}{e}$，1）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＞g（1）=0，
即f（x₀）＞0，
∴函數(shù)f（x）的極小值大于0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)定理，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．