Question

14．已知函數(shù) f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-sin2x-1，a∈R．
（1）寫(xiě)出函數(shù) f（x）的最小正周期（不必寫(xiě)出過(guò)程）；
（2）求函數(shù) f（x）的最大值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù) f（x）在區(qū)間（0，kπ）（k∈N^*）上恰有2015個(gè)零點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由周期函數(shù)的定義．
（2）換元，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到最值．
（3）由一個(gè)周期內(nèi)的情況類比出2015個(gè)零點(diǎn)的情況．

解答 解：（1）函數(shù) f（x）的最小正周期為π．
（2）∵f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-sin2x-1，a∈R
=a$\sqrt{1+|sin2x|}$-sin2x-1=a$\sqrt{1+|sin2x|}$-（sin2x+1），
令t=$\sqrt{1+|sin2x|}$，t∈[0，$\sqrt{2}$]，
∴y=at-t²=-（t-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{4}$a²，
①$\frac{1}{2}$a≤0時(shí)，在t=0處，y_max=0，
②0＜$\frac{1}{2}$a＜$\sqrt{2}$時(shí)，在t=$\frac{1}{2}$a處，y_max=$\frac{1}{4}$a²，
③$\frac{1}{2}$a≥$\sqrt{2}$時(shí)，在t=$\sqrt{2}$處，y_max=$\sqrt{2}$a-2．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\sqrt{1+|sin2x|}$-sin2x-1，
∵當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=0時(shí)，f（x）=0，
∴x∈（0，π]時(shí)，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)分別為$\frac{π}{2}$，π，
∴2015=2×1007+1，
∴k=1008．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查周期函數(shù)的定義，換元，二次函數(shù)的性質(zhì)以及類比．