Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+a_n=1（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{a^n}$-1），求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項，
（2）先求出b_n，再分n為偶數(shù)和你為奇數(shù)兩類計算即可．

解答 解：（1）∵a_n+S_n=1，∴n≥2時，a_n-1+S_n-1=1
兩式相減可得：2a_n=a_n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$（n≥2）
∵n=1時，a₁+S₁=1，∴a₁=$\frac{1}{2}$
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）b_n=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{a^n}$-1）=（-1）ⁿ•（2ⁿ-1），
∴T_n=（-1）¹•（2¹-1）+（-1）²•（2²-1）+（-1）³•（2³-1）+（-1）⁴•（2⁴-1）+…+（-1）ⁿ•（2ⁿ-1），
當(dāng)n=偶數(shù)時，
∴T_n=-（2¹-1+2³-1+2⁵-1+…+2^n-1-1）+（2²-1+2⁴-1+…+2ⁿ-1）=-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-4}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-4}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1），
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=-（2¹-1+2³-1+2⁵-1+…+2ⁿ-1）+（2²-1+2⁴-1+…+2^n-1）=-$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-4}$+$\frac{n+1}{2}$+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-4}$-$\frac{n-1}{2}$=-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{1}{3}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{2}{3}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{2}^{n+1}}{3}+\frac{1}{3}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．