Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短軸長為2，離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，若∠AOB為銳角，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，可知：a=2，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，△＞0及x₁x₂+y₁y₂＞0，利用韋達(dá)定理即可取得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：2b=2，則b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8mx+4m²-4=0，
由△=64m²-4×5（4m²-4）＞0，解得：-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$，
由于∠AOB為銳角，則0＜∠AOB＜$\frac{π}{2}$，
則ocs∠AOB＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
∴$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$+$\frac{{m}^{2}-4}{5}$＞0，解得：m＞$\frac{2\sqrt{10}}{5}$或m＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
綜上可知：-$\sqrt{5}$＜m＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜m＜$\sqrt{5}$，
故實數(shù)m的取值范圍（-$\sqrt{5}$，-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$）∪（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．