Question

4．已知不等式x²-5ax+b＞0的解集為{x|x＞4或x＞1}
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若0＜x＜1，f（x）=$\frac{a}{x}+\frac{1-x}$，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得方程x²-5ax+b=0的兩個(gè)根是1和4，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得5a=1+4，b=1×4，解可得a、b的值；
（2）由（1）知f（x）的解析式，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，不等式x²-5ax+b＞0的解集為{x|x＞4或x＞1}，
則方程x²-5ax+b=0的兩個(gè)根是1和4，
則有5a=1+4，b=1×4，
即a=1，b=4；
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$，
因?yàn)?＜x＜1，所以0＜1-x＜1，所以$\frac{1}{x}＞0，\frac{4}{1-x}＞0$
所以$f（x）=\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}=（{\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}}）[{x+（{1-x}）}]$=$5+\frac{1-x}{x}+\frac{4x}{1-x}$$≥5+2\sqrt{\frac{1-x}{x}•\frac{4x}{1-x}}$=9
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1-x}{x}=\frac{4x}{1-x}$，即$x=\frac{1}{3}$時(shí)，等號(hào)成立．所以f（x）的最小值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出a、b的值．