Question

14．已知函數(shù)f（x）=sinx-bcosx（其中b為實(shí)數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{6}$對(duì)稱，且?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到的函數(shù)是偶函數(shù)
• B． 不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等號(hào)時(shí)|x₁-x₂|的最小值為2π
• C． 函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{2}{3}$π，0）
• D． 函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由函數(shù)f（x）=sinx-bcosx（其中b為實(shí)數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{6}$對(duì)稱，可得f（-$\frac{π}{3}$）=f（0），
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$b=-b，∴b=$\sqrt{3}$，∴f（x）=sinx-bcosx=sinx-$\sqrt{3}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
把函數(shù)f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到的函數(shù)為y=2sinx的圖象，不是偶函數(shù)，故排除A；
函數(shù)f（x）的周期為2π，最大值為2，最小值為-，2，不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等號(hào)時(shí)|x₁-x₂|的最小值為2π，故B正確；
令x=$\frac{2π}{3}$，求得f（x）=$\sqrt{3}$≠0，故C錯(cuò)誤；
在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上，x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，函數(shù)f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）沒有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．