設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）D是過三點的圓上的點，D到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；

（Ⅲ）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.

 

【答案】

（1）橢圓的離心率     （2）橢圓方程為.  （3）的取值范圍是

【解析】I)由于可以根據(jù),把B點坐標用b,c表示出來,然后利用建立關(guān)于a,b,c的方程，即可確定e的值.

(II)先求出過三點A、B、F2的圓的方程，然后根據(jù)圓到直線上的最大距離應(yīng)為圓心到直線的距離加上半徑.再結(jié)合離心率即可確定橢圓C的方程.

（III）解題的關(guān)鍵是菱形條件就是然后坐標化再由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理差別式這個通式通法，解決問題.

解：（Ⅰ）設(shè)B（x0，0），由（c，0），A（0，b），知 ，由于 即為中點．故，故橢圓的離心率   --4分

（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，

△ABF的外接圓圓心為（，0），半徑r=|FB|=,D到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為，所以，解得=2，∴c =1，b=，  所求橢圓方程為.    ------------------8分

（Ⅲ）由（2）知, ：

           代入得  

設(shè)，則，  ------9分

由于菱形對角線垂直，則故則

    -------------10分

由已知條件知且     

故存在滿足題意的點P且的取值范圍是．

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在坐標原點、焦點在x軸上橢圓的離心率e=
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，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設(shè)橢圓的左，右焦點分別是F1和F2，直線l1過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點P，求線段PF1的垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(08年四川卷理)設(shè)橢圓的左、右焦點分別是、，離心率，右準線上的兩動點、，且．

（Ⅰ）若，求、的值；

（Ⅱ）當最小時，求證與共線．

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（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。（I）求a與b；（II）設(shè)橢圓的左，右焦點分別是F1和F2，直線且與x軸垂直，動直線軸垂直，于點P，求線段PF1的垂直平分線與的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型。

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省高考真題 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別是F1、F2，離心率，右準線l上的兩動點M、N，且，
（Ⅰ）若，求a、b的值；
（Ⅱ）當最小時，求證與共線。

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年安徽省黃山市休寧中學高三（上）數(shù)學綜合練習試卷1（文科）（解析版） 題型：解答題

已知中心在坐標原點、焦點在x軸上橢圓的離心率，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設(shè)橢圓的左，右焦點分別是F1和F2，直線l1過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點P，求線段PF1的垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型．

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