Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面平面ABCD，，E是SB的中點(diǎn)，M是CD上任意一點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，，平面SAD，求直線BM與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，證明平面，來(lái)證明；（2）先根據(jù)平面得到為線段的中點(diǎn)，再證得平面，所以為直線與平面所成的角，即可求解，也可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解．

（1）取的中點(diǎn)，連接，

又是的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以，則，所以四點(diǎn)共面，平面，

因?yàn)?/span>，平面平面，平面平面，

所以平面，

又平面，所以，所以，

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，

又，所以平面，所以；

（2）解法一：

因?yàn)?/span>平面平面，平面平面，

所以．

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以為的中點(diǎn)，

由（1）知，平面，

又平面，所以，

又，所以平面．

又，所以平面，

所以為直線與平面所成的角，

在中，易得，

所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：

因?yàn)?/span>平面平面，平面平面，

所以，

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以為的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以，

過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，作為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，得，

令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則，

即直線與平面所成角的正弦值為．