Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|的定義域為實數(shù)集R．
（Ⅰ）當(dāng)a=5時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞9；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|x-4|的解集為A，B={x∈R|2x-1|≤3}，如果A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=5，把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得B⊆A，區(qū)間B的端點在集合A中，由此求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時，關(guān)于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x-2|＞9，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-5}\\{-x-5+2-x＞9}\end{array}\right.$ ①；或 $\left\{\begin{array}{l}{-5≤x≤2}\\{x+5+2-x＞9}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+5+x-2＞9}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜-6，或 x＞3}．
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）=|x+a|+|x-2|≤|x-4|的解集為A，
B={x∈R|2x-1|≤3}={x|-1≤x≤2 }，如果A∪B=A，則B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|-1+a|+3≤|-1-4|}\\{|2+a|+0≤|2-4|}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤3}\\{-4≤a≤0}\end{array}\right.$，求得-1≤a≤0，
故實數(shù)a的范圍為[-1，0]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，屬于中檔題．