Question

13．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，0≤x≤1}\\{lnx，1＜x≤e}\end{array}\right.$，直線x=0，x=e，y=0，y=1所圍成的區(qū)域為M，曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域為N，在區(qū)域M內(nèi)任取一個點P，則點P在區(qū)域N內(nèi)概率為（　�。�

• A． $\frac{2e-3}{2e}$
• B． $\frac{3}{2e}$
• C． $\frac{{e}^{e}{-e}^{2}+e-1}{e}$
• D． $\frac{e-1}{e+1}$

Answer 1

分析 首先分別求出兩個區(qū)域的面積，利用幾何概型的公式得到所求．

解答 解：由題意，區(qū)域M為長為e，寬為1的矩形，面積為e，
曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域為N，面積為e-$\frac{1}{2}×1×1-{∫}_{1}^{e}lnxdx$，其中，設(shè)t=lnx，則${∫}_{1}^{e}lnxdx={∫}_{0}^{1}td{e}^{t}=（t{e}^{t}-{e}^{t}）{|}_{0}^{1}$=1；
所以曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域為N，面積為e-$\frac{1}{2}×1×1-{∫}_{1}^{e}lnxdx$=e-$\frac{1}{2}$-1=e-$\frac{3}{2}$，
由幾何概型的公式得到$\frac{e-\frac{3}{2}}{e}=\frac{2e-3}{2e}$；
故選A．

點評 本題考查了幾何概型的概率求法；關(guān)鍵是利用定積分求出曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域為N．