15.設a1=1,an+1=$\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}$+1
(1)求a2,a3,a4,并猜想通項公式.
(2)用數(shù)學歸納法證明(1)的猜想.

分析 (1)由題意可得an+1=$\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}$+1,又a11=,可求得a2,再由a2的值求 a3,再由a3 的值求出a4的值,并猜想${a_n}=\sqrt{n-1}+1$.
(2)檢驗n=1時等式成立,假設n=k時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.

解答 解:(1)${a_2}=\sqrt{{a_1}^2-2{a_1}+2}+1$=2;${a_3}=\sqrt{{a_2}^2-2{a_2}+2}+1$=$\sqrt{2}+1$;${a_4}=\sqrt{{a_3}^2-2{a_3}+2}+1$=$\sqrt{3}+1$;猜想${a_n}=\sqrt{n-1}+1$;
(2)下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時 滿足猜想;
②假設n=k時,${a_k}=\sqrt{k-1}+1$成立,
則${a_{k+1}}=\sqrt{{a_k}^2-2{a_k}+2}+1$=$\sqrt{{{({a_k}-1)}^2}+1}+1$=$\sqrt{{{(\sqrt{k-1})}^2}+1}+1$=$\sqrt{k}+1$=$\sqrt{(k+1)-1}+1$,
所以當n=k+1時,${a_{k+1}}=\sqrt{(k+1)-1}+1$也成立;
綜合①②${a_n}=\sqrt{n-1}+1$對n∈N*成立.

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式,用數(shù)學歸納法證明等式成立.證明當n=k+1時命題也成立,是解題的難點.

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