Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過點$P（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線l過點E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點，若|EA|=2|EB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，解得a²=4，b²=1，進而得到橢圓的方程；
（2）設l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理，以及向量共線的坐標表示，化簡整理可得k的方程，解得k，即可得到所求直線的方程

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，c=$\sqrt{3}$，∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
（2）由已知，①若直線l的斜率不存在，則過點E（-1，0）的直線l的方程為x=-1，
此時A（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），顯然|EA|=2|EB|不成立．
②若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=k（x+1）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
由△=（8k²）²-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵|EA|=2|EB|，
∴$\overrightarrow{EA}$=-2$\overrightarrow{EB}$，
∴x₁+2x₂=-3，
聯(lián)立解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
故直線l的方程為$\sqrt{15}$x+6y+$\sqrt{15}$=0或$\sqrt{15}$x-6y+$\sqrt{15}$=0

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線方程的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和向量共線的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．