1.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,且過點$P(\sqrt{3},\frac{1}{2})$.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)直線l過點E(-1,0)且與橢圓C交于A,B兩點,若|EA|=2|EB|,求直線l的方程.

分析 (1)運用橢圓的離心率公式和a,b,c的關系,解得a2=4,b2=1,進而得到橢圓的方程;
(2)設l的方程為y=k(x+1),代入橢圓方程,A(x1,y1),B(x2,y2),運用韋達定理,以及向量共線的坐標表示,化簡整理可得k的方程,解得k,即可得到所求直線的方程

解答 解:(1)由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$,解得a2=4,b2=1,c=$\sqrt{3}$,∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,
(2)由已知,①若直線l的斜率不存在,則過點E(-1,0)的直線l的方程為x=-1,
此時A(-1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),B(-1,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$),顯然|EA|=2|EB|不成立.
②若直線l的斜率存在,則設直線l的方程為y=k(x+1)
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k(x+1)}\end{array}\right.$可得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,
由△=(8k22-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0
記A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$,
∵|EA|=2|EB|,
∴$\overrightarrow{EA}$=-2$\overrightarrow{EB}$,
∴x1+2x2=-3,
聯(lián)立解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{6}$,
故直線l的方程為$\sqrt{15}$x+6y+$\sqrt{15}$=0或$\sqrt{15}$x-6y+$\sqrt{15}$=0

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用離心率公式,考查直線方程的求法,注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理和向量共線的坐標表示,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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