Question

6．已知三棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，則該幾何體的外接球的體積為$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可得該幾何體的直觀圖如下圖所示：取AB的中點F，AF的中點E，由三視圖可得：AB垂直平面CDE，且平面△CDE為$\sqrt{3}$的正三角形，AB=1+3=4，可得CF=DF=2，故F即為棱錐外接球的球心．

解答 解：已知中的三視圖，可得該幾何體的直觀圖如下圖所示：
取AB的中點F，AF的中點E，
由三視圖可得：AB垂直平面CDE，且平面△CDE為$\sqrt{3}$的正三角形，AB=1+3=4，
∴AF=BF=2，EF=1，
∴CF=DF=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
故F即為棱錐外接球的球心，半徑R=2，
故外接球的體積V=$\frac{4π}{3}×$2³=$\frac{32π}{3}$．
故答案為：$\frac{32π}{3}$．

點評 本題考查了三棱錐的三視圖、外接球的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．