Question

6．已知三棱錐P-ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O是AB中點(diǎn)，E是PB中點(diǎn)．
（1）證明：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求點(diǎn)B到平面OEC的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)PO，推導(dǎo)出PO⊥AB，AC⊥BC，PO⊥OC．從而PO⊥平面ABC，由此能證明平面PAB⊥平面ABC．
（2）推導(dǎo)出$OE=\frac{3}{2}$，OC⊥AB，從而OC⊥平面PAB，進(jìn)而OC⊥OE．設(shè)點(diǎn)B到平面OEC的距離為d，由V_B-OEC=V_E-OBC，能求出點(diǎn)B到平面OEC的距離．

解答 證明：（1）連結(jié)PO，在△PAB中，PA=PB，O是AB中點(diǎn)，
∴PO⊥AB，
又∵AC=BC=2，AC⊥BC，∴$AB=2\sqrt{2}，OB=OC=\sqrt{2}$．
∵PA=PB=BC=3，∴$PO=\sqrt{7}$，PC²=PO²+OC²，
∴PO⊥OC．
又AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，
∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
解：（2）∵OE是△PAB的中位線，∴$OE=\frac{3}{2}$．
∵O是AB中點(diǎn)，AC=BC，∴OC⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABC，兩平面的交線為AB，∴OC⊥平面PAB，
∵OE?平面PAB，∴OC⊥OE．
設(shè)點(diǎn)B到平面OEC的距離為d，則V_B-OEC=V_E-OBC，
∴$\frac{1}{3}×{S_{△OEC}}•d=\frac{1}{3}×{S_{△OBC}}×\frac{1}{2}OP$，
∴點(diǎn)B到平面OEC的距離：
$d=\frac{{{S_{△OBC}}•\frac{1}{2}OP}}{{{S_{△OEC}}}}=\frac{{\frac{1}{2}OB•OC•\frac{1}{2}OP}}{{\frac{1}{2}OE•OC}}=\frac{{\sqrt{14}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．