Question

10．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F的直線交拋物線C于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準線切于$M（-\frac{p}{2}，3）$，且△AOB的面積為$\sqrt{13}$，則拋物線C的方程為y²=4x．

Answer 1

分析 求出直線AB的方程，利用△AOB的面積為$\sqrt{13}$，建立方程求出p，即可求出拋物線C的方程．

解答 解：令A(yù)（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由已知以AB為直徑的圓相切于$M（-\frac{p}{2}，3）$，∴y₁+y₂=6，
A，B代入拋物線方程，作差可得k_AB=$\frac{p}{3}$，
設(shè)直線AB的方程為y=$\frac{p}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
與拋物線方程聯(lián)立可得y²-6y-p²=0，∴y₁y₂=-p²，
∵△AOB的面積為$\sqrt{13}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×$|y₁-y₂|=$\sqrt{13}$，
∴p$\sqrt{36+4{p}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x，
故答案為：y²=4x．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查圓的方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．