Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

（x∈[

1

2

，3]），則函數(shù)f（x）的值域?yàn)?div id="jupak17" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x+

1

x

（x∈[

1

2

，3]），∴f′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

．
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得1＜x≤3，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得

1

2

≤x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
又f′（1）=0，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（1）=2．又f(

1

2

)=

1

2

+2=

5

2

，f（3）=3+

1

3

=

10

3

．因此當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值

10

3

．
因此函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="svwgr4s" class="MathJye">[2，

10

3

]．
故答案為：[2，

10

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，屬于基礎(chǔ)題．