Question

17．連接直角三角形的直角頂點與斜邊的兩個三等分點，所得線段的長分別為sinα和cosα$（0＜α＜\frac{π}{2}）$，則斜邊長是$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖建立平面直角坐標系，設A（3a，0），B（0，3b），則三等分點M（a，2b），N（2a，b）                                              
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{O{M}^{2}={a}^{2}+4^{2}=si{n}^{2}α}\\{O{N}^{2}=4{a}^{2}+^{2}=co{s}^{2}α}\end{array}\right.$⇒5（a²+b²）=1，則${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{5}$，可得AB=$\sqrt{9{a}^{2}+9^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

解答 解：如圖建立平面直角坐標系，設A（3a，0），B（0，3b），
則三等分點M（a，2b），N（2a，b）                                              
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{O{M}^{2}={a}^{2}+4^{2}=si{n}^{2}α}\\{O{N}^{2}=4{a}^{2}+^{2}=co{s}^{2}α}\end{array}\right.$⇒
5（a²+b²）=1，則${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{5}$
∴AB=$\sqrt{9{a}^{2}+9^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$


故答案為：$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查了利用坐標處理平面幾何問題，轉化思想、方程思想是解題的關鍵，屬于中檔題．