Question

16．已知函數g（x）=e^x+e^-x，其中e是自然對數的底數，正數k滿足：存在x₀∈[1，+∞），使得g（x₀）≤k（-x₀²+3x₀）成立，則k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$（e+$\frac{1}{e}$），+∞）．

Answer 1

分析 通過構造函數f（x）=g（x）-k（-x²+3x）=e^x+e^-x-k（-x³+3x），并求導可知f（x）_min=f（1）=e+$\frac{1}{e}$-2k，進而問題轉化為解不等式e+$\frac{1}{e}$-2k＜0，計算即得結論．

解答 解：由題意，記f（x）=g（x）-k（-x²+3x）=e^x+e^-x-k（-x³+3x），
則f′（x）=e^x-e^-x+3k（x²-1），
當x≥1時f′（x）＞0，即函數y=f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
此時f（x）_min=f（1）=e+$\frac{1}{e}$-2k，
由于存在x₀∈[1，+∞），使得g（x₀）≤k（-x₀²+3x₀）成立，
所以e+$\frac{1}{e}$-2k＜0，解得：k＞$\frac{1}{2}$（e+$\frac{1}{e}$），
故答案為：（$\frac{1}{2}$（e+$\frac{1}{e}$），+∞）．

點評 本題考查函數的單調性，考查存在性問題，考查轉化與化歸思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．