Question

8．已知直線$l：\sqrt{3}x-y+1=0$，方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圓．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=-2時，試判斷直線l與該圓的位置關系，若相交，求出相應弦長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓的一般式可知半徑r=4m²+4-4（m+3）＞0，可得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=-2時，可得圓的圓心為圓心為（-2，1），半徑為r=2，利用圓心到直線的距離與半徑比較可得答案，利用弦長公式l=$2\sqrt{{r}^{2}-vftlhvn^{2}}$，可得相應的弦長．

解答 解：（Ⅰ）∵方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圓，
∴4m²+4-4（m+3）＞0⇒m＜-1或m＞2．
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m＜-1或m＞2}
（Ⅱ）當m=-2時，圓的方程可化為x²+y²+4x-2y+1=0，即（x+2）²+（y-1）²=4．
∴圓心為（-2，1），半徑為r=2
則：圓心到直線的距離$d=\frac{{|{-2\sqrt{3}-1+1}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\sqrt{3}＜r$．
∴直線與圓相交．
弦長公式l=$2\sqrt{{r}^{2}-xxhxvtb^{2}}$=2$\sqrt{4-3}$=2．
故得弦長為2．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷，直線被圓截得的弦長的計算．屬于基礎題．