Question

1．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象過點(diǎn)（1，0），f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若x＞0時(shí)，xf'（x）＞1恒成立，則不等式f（x）≤lnx的解集是（0，1]．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-lnx（x＞0），確定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）≤lnx，化為g（x）≤0=g（1），即可得出結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-lnx（x＞0），
則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{x}$=$\frac{xf′（x）-1}{x}$＞0，
∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（x）≤lnx，
∴g（x）≤0=g（1），
∴0＜x≤1，
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．