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2.已知函數(shù)f(x)=23sin(\frac{π}{4}+\frac{x}{2})sin(\frac{π}{4}-\frac{x}{2})-sin(π+x),若函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)若存在x∈[0,\frac{π}{2}],使等式[g(x)]2-g(x)+m=0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)三角函數(shù)中兩角互余的誘導(dǎo)公式及函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題,通過(guò)g(x)上的點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)在f(x)上,求出g(x)的解析式.
(2)根據(jù)存在x∈[0,\frac{π}{2}],使等式[g(x)]2-g(x)+m=0成立,換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值,從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(1)由題意得f(x)=2\sqrt{3}sin(\frac{π}{4}+\frac{x}{2})cos(\frac{π}{4}+\frac{x}{2})+sinx
=\sqrt{3}sin(\frac{π}{2}+x)+sinx
=\sqrt{3}cosx+sinx
=2sin(x+\frac{π}{3})
因?yàn)間(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
設(shè)g(x)上任意一點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P′(-x,y)在y=f(x)的圖象上.
即 g(x)=2sin(-x+\frac{π}{3}),故g(x)=-2sin(x-\frac{π}{3}).
(2)∵x∈[0,\frac{π}{2}],∴由(1)得g(x)∈[-1,\sqrt{3}]  
  令t=g(x),t∈[-1,\sqrt{3}]
則等式[g(x)]2-g(x)+m=0成立等價(jià)為m=-t2+t在t∈[-1,\sqrt{3}]上成立.
m=-t2+t=-(t-\frac{1}{2}2+\frac{1}{4},當(dāng)t=-1時(shí)m最小值為-2,當(dāng)t=\frac{1}{2}時(shí)m的最大值為\frac{1}{4}
在故m的取值范圍為[-2,\frac{1}{4}]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和性質(zhì),利用換元法將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17.已知函數(shù)f(x)=\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx},則下列命題中正確命題的序號(hào)是①②④.
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②f(x)的值域是[\sqrt{2},2];
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(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R+,且\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=m,求z=a+2b+3c的最小值.

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14.若直線y=ax+b通過(guò)第一、二、四象限,則圓(x+a)2+(y+b)2=1的圓心位于( �。�
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C經(jīng)過(guò)A(0,1),B(3,4),C(6,1)三點(diǎn).
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