Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$，則下列命題中正確命題的序號是①②④．
①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x）的值域是[$\sqrt{2}$，2]；
③當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）單調遞增；
④當且僅當x=2kπ±$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，f（x）=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得此分段函數(shù)的解析式，由函數(shù)的圖象和性質依次判斷四個命題的真假，即可得解．

解答 解：對于①，由于f（-x）=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$=f（x），故正確；
對于②，由題意函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$=|sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$|+|sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2sin\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}≥cos\frac{x}{2}}\\{2cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}＜cos\frac{x}{2}}\end{array}\right.$，
所以：在x=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）時，函數(shù)圖象位于最低點，
該函數(shù)取得最小值$\sqrt{2}$，當且僅當x=kπ（k∈Z）時，函數(shù)圖象位于最高點為2，故正確；
對于③，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，$\frac{x}{2}$∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得cos$\frac{x}{2}$≥sin$\frac{x}{2}$，
由題意函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$=|sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$|+|sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$|=2cos$\frac{x}{2}$，
由余弦函數(shù)的性質可得：f（x）=2cos$\frac{x}{2}$，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）單調遞減，故錯誤；
對于④，當x=2kπ±$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，可得sinx=±1，可得：f（x）=$\sqrt{2}$．
反之，當f（x）=$\sqrt{2}$時，函數(shù)圖象位于最低點，x=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），故正確；
故答案為：①②④．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的最值，函數(shù)圖象的運用，由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質，并以由圖象研究出的結論判斷和函數(shù)有關的命題的真假，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．