Question

12．若兩個正實數(shù)x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，且不等式x+$\frac{y}{4}$＜m²-3m有解，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 不等式x+$\frac{y}{4}$＜m²-3m有解，即為m²-3m大于x+$\frac{y}{4}$的最小值，運用乘1法和基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．

解答 解：正實數(shù)x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，
則x+$\frac{y}{4}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）（x+$\frac{y}{4}$）=2+$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{4x}$≥2+2$\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{y}{4x}}$=4，
當且僅當y=4x=8，x+$\frac{y}{4}$取得最小值4．
由x+$\frac{y}{4}$＜m²-3m有解，可得m²-3m＞4，
解得m＞4或m＜-1．
故答案為：（-∞，-1）∪（4，+∞）．

點評 本題考查不等式成立的條件，注意運用轉(zhuǎn)化思想，求最值，同時考查乘1法和基本不等式的運用，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔題和一小題．