Question

10．若$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}-3{a}^{2}+4a=2016}\\{^{3}-3^{2}+4b=-2012}\end{array}\right.$，求a+b的值．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x³-3x²+4x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，計(jì)算f（x）+f（2-x）=4，可得函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱．由f（a）+f（b）=4，可得a+b的值．

解答 解：設(shè)f（x）=x³-3x²+4x，
可得f′（x）=3x²-6x+4=3（x-1）²+1＞0，
即有f（x）在R上遞增，
又f（2-x）=（2-x）³-3（2-x）²+4（2-x），
可得f（x）+f（2-x）=（x+2-x）[x²+（2-x）²-x（2-x）]-3[x²+（2-x）²]+8
=2（3x²-6x+4）-3（2x²-4x+4）+8=4，
即函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱．
由f（a）+f（b）=a³-3a²+4a+（b³-3b²+4b）=2016-2012=4，
可得f（b）=f（2-a），即有b=2-a，
則a+b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩數(shù)和的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，以及函數(shù)的對(duì)稱性，判斷f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．