Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\(chéng)\ y=2+2sinφ\(chéng)end{array}$（φ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）求C₁與C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知曲線C₃的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（0≤α＜π，t為參數(shù)，且t≠0），C₃與C₁相交于點(diǎn)P，C₂與C₃相交于點(diǎn)Q，且|PQ|=8，求α的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\(chéng)\ y=2+2sinφ\(chéng)end{array}$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{3}$cosθ，即ρ²=4$\sqrt{3}$ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出即可得出．
（II）曲線C₃的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（0≤α＜π，t為參數(shù)，且t≠0），$α=\frac{π}{2}$時(shí)，不滿足|PQ|=8，舍去．
$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，消去參數(shù)化為普通方程：y=xtanα，設(shè)k=tanα，即直線l的方程為：y=kx，分別與曲線C₁，C₂的方程聯(lián)立解出交點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\(chéng)\ y=2+2sinφ\(chéng)end{array}$（φ為參數(shù)），
消去參數(shù)可得：x²+（y-2）²=4．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{3}$cosθ，即ρ²=4$\sqrt{3}$ρcosθ，
化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4$\sqrt{3}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C₁與C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為：（0，0）；$（\sqrt{3}，3）$．
（II）曲線C₃的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（0≤α＜π，t為參數(shù)，且t≠0），
$α=\frac{π}{2}$時(shí)，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=t}\end{array}\right.$，代入方程：x²+（y-2）²=4，解得t=0，t=4．
代入：x²+y²=4$\sqrt{3}$x，解得t=0，不滿足|PQ|=8，舍去．
$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，消去參數(shù)化為普通方程：y=xtanα，設(shè)k=tanα．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4k}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
可得P（0，0），或P$（\frac{4k}{1+{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
可得Q（0，0），或Q$（\frac{4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}，\frac{4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}）$．
∵|PQ|=8，∴只能取P$（\frac{4k}{1+{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$，Q$（\frac{4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}，\frac{4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}）$．
∴$（\frac{4k-4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}）^{2}$+$（\frac{4{k}^{2}-4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}）^{2}$=8²，
化為：$（\sqrt{3}k+1）^{2}$=0，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又0≤α＜π，解得α=$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的交點(diǎn)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．