已知函數(shù)f(x)=(a-1)x+aln(x-2),(a<1).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;
(2)設a<0時,對任意x1、x2∈(2,+∞),數(shù)學公式<-4恒成立,求a的取值范圍.

解:(1)∵f′(x)=(a-1)+=(1分)
①a<0時,f′(x)=
-2=<0,∴0<<2,∴x>2時,f′(x)<0
∴f(x)在(2,+∞)上遞減.(3分)
②a=0時,f(x)=-x,在(2,+∞)上遞減.(4分)
③0<a<1時,>2
∴x∈(2,)時,f′(x)>0,f(x)在(2,)上遞增;
當x∈(,+∞)時,f′(x)<0,f(x)在(,+∞)上遞減;(6分)
∴綜上所述,當a≤0時,f(x)在(2,+∞)上遞減,
當0<a<1時,f(x)在(2,)上遞增,在(,+∞)上遞減.(7分)
(2)當a<0時,f(x)在(2,+∞)上遞減;
不妨設任意x1,x2∈(2,+∞)且x1<x2
<-4可變?yōu)閒(x1)-f(x2)>-4(x1-x2
f(x1)+4x1>f(x2)+4x2
∴令g(x)=f(x)+4x,∴g(x)在(2,+∞)上遞減
∴g′(x)<0在(2,+∞)上恒成立
∴a-1++4<0在(2,+∞)上恒成立.
a<-3+在(2,+∞)上恒成立
而-3<-3+<0,∴a≤-3.(13分)
分析:(1)對函數(shù)求導,討論a的正負,利用導函數(shù)與函數(shù)單調性的關系進行求解即可.
(2)根據當a<0時,f(x)在(2,+∞)上遞減,不妨設任意x1,x2∈(2,+∞)且x1<x2,將條件可變?yōu)閒(x1)+4x1>f(x2)+4x2,令g(x)=f(x)+4x,根據單調性將a分離出來,轉化成a<-3+在(2,+∞)上恒成立,求出-3+的最小值即可求出a的范圍.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,以及不等式恒成立問題,同時考查了分類討論的思想、轉化與劃歸的思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
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1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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