解:(1)∵f′(x)=(a-1)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21792.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21793.png)
(1分)
①a<0時,f′(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21794.png)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
-2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21796.png)
<0,∴0<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
<2,∴x>2時,f′(x)<0
∴f(x)在(2,+∞)上遞減.(3分)
②a=0時,f(x)=-x,在(2,+∞)上遞減.(4分)
③0<a<1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
>2
∴x∈(2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
)時,f′(x)>0,f(x)在(2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
)上遞增;
當x∈(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
,+∞)時,f′(x)<0,f(x)在(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
,+∞)上遞減;(6分)
∴綜上所述,當a≤0時,f(x)在(2,+∞)上遞減,
當0<a<1時,f(x)在(2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
)上遞增,在(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21795.png)
,+∞)上遞減.(7分)
(2)當a<0時,f(x)在(2,+∞)上遞減;
不妨設任意x
1,x
2∈(2,+∞)且x
1<x
2![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16707.png)
<-4可變?yōu)閒(x
1)-f(x
2)>-4(x
1-x
2)
f(x
1)+4x
1>f(x
2)+4x
2∴令g(x)=f(x)+4x,∴g(x)在(2,+∞)上遞減
∴g′(x)<0在(2,+∞)上恒成立
∴a-1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21792.png)
+4<0在(2,+∞)上恒成立.
a<-3+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9322.png)
在(2,+∞)上恒成立
而-3<-3+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9322.png)
<0,∴a≤-3.(13分)
分析:(1)對函數(shù)求導,討論a的正負,利用導函數(shù)與函數(shù)單調性的關系進行求解即可.
(2)根據當a<0時,f(x)在(2,+∞)上遞減,不妨設任意x
1,x
2∈(2,+∞)且x
1<x
2,將條件可變?yōu)閒(x
1)+4x
1>f(x
2)+4x
2,令g(x)=f(x)+4x,根據單調性將a分離出來,轉化成a<-3+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9322.png)
在(2,+∞)上恒成立,求出-3+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9322.png)
的最小值即可求出a的范圍.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,以及不等式恒成立問題,同時考查了分類討論的思想、轉化與劃歸的思想,屬于中檔題.