分析 (Ⅰ)證明AE⊥BC,推出AE⊥EB,AE⊥KP,得到AE⊥面EPB.說明∠PEB為二面角P-AE-B的平面角,說明△PEB為等邊三角形,然后證明PH⊥平面ABE,推出EB的中點H為P在平面ABE上的射影.
(Ⅱ)過點H,作HF⊥AB于F,以$\overrightarrow{HF}$方向為x軸,$\overrightarrow{HB}$方向為y軸,$\overrightarrow{HP}$方向為z軸建立空間直角坐標系H-xyz,求出相關點的坐標,平面PAB的法向量,然后求解直線BE與平面ABP所成角的正弦函數(shù)值.
解答 (本小題滿分12分)
(Ⅰ)依題意,AE⊥BC,則AE⊥EB,AE⊥KP,EB∩EP=E.
∴AE⊥面EPB.
故∠PEB為二面角P-AE-B的平面角,
所以∠PEB=60°,因為PE=BE,所以△PEB為等邊三角形,
所以,若H為EB中點,則PH⊥EB,又因為AE⊥面EPB,
所以AE⊥PH,因為AE∩EB=E,且AE,EB?平面ABE,所以PH⊥平面ABE,
所以EB的中點H為P在平面ABE上的射影.
(Ⅱ)過點H,作HF⊥AB于F,因為PH⊥平面ABE,所以PH⊥HB,PH⊥HF,
所以以$\overrightarrow{HF}$方向為x軸,$\overrightarrow{HB}$方向為y軸,$\overrightarrow{HP}$方向為z軸建立空間直角坐標系H-xyz,
由題知,$B({0,1,0}),E({0,-1,0}),P({0,0\sqrt{3}}),A({2,-1,0})$,所以$\overrightarrow{EB}=({0,2,0}),\overrightarrow{PA}=({2,-1,-\sqrt{3}}),\overrightarrow{PB}=({0,1,-\sqrt{3}})$,
設平面PAB的法向量為$\overrightarrow n=({x,y,z})$,所以$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-\sqrt{3}z=0}\\{y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$,
令$z=\sqrt{3}$,則y=3,x=3,所以$\overrightarrow n=({3,3,\sqrt{3}})$,
所以$cos\left?{\overrightarrow n,\overrightarrow{EB}}\right>=\frac{6}{{\sqrt{4}\sqrt{9+9+3}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$,
設直線BE與平面ABP所成角為θ,則$sinθ=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$.
點評 考查直線與平面垂直,直線與平面所成角的求法,考查空間想象能力以及計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (kπ-$\frac{π}{4}$,kπ+$\frac{π}{4}$)(k∈Z) | B. | (kπ-$\frac{π}{2}$,kπ)((k∈Z) | C. | (kπ+$\frac{π}{4}$,kπ+$\frac{3π}{4}$)((k∈Z) | D. | (kπ,kπ+$\frac{π}{2}$)((k∈Z) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | d1=2,d2=0,d3=2014 | B. | d1=2,d2=2,d3=2014 | ||
C. | d1=2,d2=1,d3=2013 | D. | d1=2,d2=2,d3=2012 |
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