Question

12．定義區(qū)間（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的長度均為d=b-a，多個(gè)區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的長度為d=（2-1）+（5-3）=3，用[x]表示不超過的x最大整數(shù)，記{x}=x-[x]，其中x∈R．設(shè)f（x）=[x]•{x}，g（x）=2x-[x]-2，若用d₁，d₂，d₃分別表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的長度，則當(dāng)0≤x≤2016時(shí)，有（　�。�

• A． d₁=2，d₂=0，d₃=2014
• B． d₁=2，d₂=2，d₃=2014
• C． d₁=2，d₂=1，d₃=2013
• D． d₁=2，d₂=2，d₃=2012

Answer 1

分析 先化簡f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡f（x）＞g（x），再分類討論：①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)③當(dāng)x∈[2，2016]時(shí)，從而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2016時(shí)的解集的長度；對(duì)于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）進(jìn)行類似的討論即可．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＞g（x）⇒[x]x-[x]²＞x-1即（[x]-1）x＞[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＜1，∴x∈[0，1）；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＜0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，2016]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2016時(shí)的解集為[0，1），故d₁=1
f（x）=g（x）⇒[x]x-[x]²=x-1即（[x]-1）x=[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x=1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0=0，∴x∈[1，2）；
當(dāng)x∈[2，2016]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2016時(shí)的解集為[1，2），故d₂=1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，2016]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，2016]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2016時(shí)的解集為[2，2016]，故d₃=2013
故選C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．