12.四棱錐P-ABCD中,PD⊥面ABCD,底面ABCD是菱形,且PD=DA=2,∠CDA=60°,過點B作直線l∥PD,Q為直線l上一動點.
(1)求證:QP⊥AC;
(2)當面PAC⊥面QAC時,求三棱錐Q-ACP的體積.

分析 (1)推導出直線QP在面ABCD上的射影為DB,DB⊥AC,由三垂線定理證明QP⊥AC.
(2)設AC和BD的交點為O,連接OP、OQ,三棱錐Q-ACP的體積VQ-ACP=VA-POQ+VC-POQ,由此能求出結果.

解答 證明:(1)由題意知直線QP在面ABCD上的射影為DB,
又菱形ABCD中DB⊥AC,
由三垂線定理知QP⊥AC.
解:(2)△PAC和△QAC都是以AC為底的等腰三角形,
設AC和BD的交點為O,
連接OP、OQ,則OP⊥AC,OQ⊥AC,∴AC⊥面POQ.
面PAC⊥面QAC知:OP⊥OQ.
在Rt△POD中,$OP=\sqrt{7}$,設QB=x,則Rt△OBQ中,$OQ=\sqrt{{x^2}+3}$,
在直角梯形PDBQ中,$PQ=\sqrt{{{(2-x)}^2}+{{(2\sqrt{3})}^2}}=\sqrt{{x^2}-4x+16}$,
在△POQ中,$PQ=\sqrt{O{P^2}+O{Q^2}}=\sqrt{{x^2}+10}$,
故$\sqrt{{x^2}-4x+16}=\sqrt{{x^2}+10}$,
解得$x=\frac{3}{2}$,即$QB=\frac{3}{2}$.
同時$OQ=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$,${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×\frac{{\sqrt{21}}}{2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{4}$,
∴三棱錐Q-ACP的體積${V_{Q-ACP}}={V_{A-POQ}}+{V_{C-POQ}}=\frac{1}{3}{S_{△POQ}}•AC=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$.

點評 本題考查線線垂直的證明,考查幾何體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想,是中檔題.

練習冊系列答案
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(2)請確定預防方案使總費用最少.(總費用=采取預防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.)

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