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設函數f（x）定義于閉區(qū)間[0，1]，滿足f（0）=0，f（1）=1，且對任意x，y∈[0，1]，x≤y，都有f（
x+y
2
）=（1-a2）f（x）+a2f（y），其中常數a滿足0＜a＜1，求a的值．
考點：抽象函數及其應用
專題：函數的性質及應用
分析：依題意，可求得f（
1
2
）=a2，f（
1
4
）=a4，繼而可求得f（
3
4
）=2a2-a4，利用f（
1
2
）=f（
1
4
+
3
4
2
）=-2a6+3a4，可得到關于a的方程a2=-2a6+3a4，解之即可．
解答： 解：因為f（
1
2
）=f（
0+1
2
）=a2，…2分
f（
1
4
）=f（
0+
1
2
2
）=a2f（
1
2
）=a4，…4分
f（
3
4
）=f（
1
2
+1
2
）=（1-a2）f（
1
2
）+a2f（1）=2a2-a4，…6分
所以f（
1
2
）=f（
1
4
+
3
4
2
）=（1-a2）f（
1
4
）+a2f（
3
4
）=-2a6+3a4，…10分
由此得a2=-2a6+3a4，…12分
而0＜a＜1，所以a=
2
2
…14分
點評：本題考查抽象函數及其應用，求得f（
1
2
）=a2是關鍵，著重考查賦值法的應用，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=x5-x-1在下列區(qū)間一定有零點的是（　　）
A、[0，1]
B、[1，2]
C、[2，3]
D、[3，4]

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（2cosx，
3
sin2x），
n
=（cosx，1），函數f（x）=
m
•
n
．
①求f（x）的解析式和函數圖象的對稱軸方程；
②在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，滿足a+c≥2b，求f（B）的范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知甲盒中有2個紅球和2個白球，乙盒中有2個紅球和3個白球，將甲、乙兩盒任意交換一個球．
（Ⅰ）求交換后甲盒恰有2個紅球的概率；
（Ⅱ）求交換后甲盒紅球數ξ的分布列及期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O為直線l外任一點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足
OA
=[f（x）+2f′（1）]•
OB
-1n（x+1）•
OC
．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）若不等式
1
2
x2≤f（x2）+m2-2bm-3對x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求下列函數在指定的閉區(qū)間上的最大值和最小值
（1）F（x）=2x3-17x2+42x-28，[1，5]；
（2）G（x）=ex（x2-4x+3），[-3，2]．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=mx3-3x+n，m，n∈R
（Ⅰ）已知f（x）在區(qū)間（m，+∞）上遞增，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）存在實數m，使得當x∈[0，n-2]時，2≤f（x）≤6恒成立，求n的最大值及此時m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點F，過F作直線l交拋物線于A（xA，yA），B（xB，yB）兩點，其中點A在x軸上方．
（1）求yAyB的值，當|AB|=8時，求直線l的方程；
（2）設P（-1，0），求證：直線PA，PB的斜率之和為0；
（3）設Q（2，0），AQ的延長線交拋物線于C，BC的中點為D，當直線DF在y軸上的截距的取值范圍是（
2
3
，2），求yA取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線l1的參數方程為
x=t+3
y=3-t
（t為參數），直線l2方程為x+y-2=0，則l1與l2之間的距離為
 
．

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