Question

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O為直線l外任一點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

=[f（x）+2f′（1）]•

OB

-1n（x+1）•

OC

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）若不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3對x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,導數(shù)的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）由A、B、C是直線l上不同的三點，

OA

=[f（x）+2f′（1）]•

OB

-1n（x+1）•

OC

．利用向量共線定理可得：f（x）+2f′（1）-ln（x+1）=1，再求導即可得出；
（2）不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3?

1

2

x2-ln(1+x2)≤m2-2bm-3，令h（x）=

1

2

x2-ln(1+x2)，利用導數(shù)即可得出其最大值．于是m²-2bm-3≥h（x）_max對b∈[-1，1]恒成立，再利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵A、B、C是直線l上不同的三點，

OA

=[f（x）+2f′（1）]•

OB

-1n（x+1）•

OC

．
∴f（x）+2f′（1）-ln（x+1）=1，
∴f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

，
∴f（x）═ln（x+1）．即y=f（x）=ln（x+1）．
（2）不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2bm-3?

1

2

x2-ln(1+x2)≤m2-2bm-3，
令h（x）=

1

2

x2-ln(1+x2)，則h′(x)=x-

2x

1+x2

=

x(x+1)(x-1)

x2+1

．
當x∈（-1，0）時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當x=0時，h（x）_max=0．
∴m²-2bm-3≥0對b∈[-1，1]恒成立，即2bm+3-m²≤0．
∴

-2m+3-m2≤0 2m+3-m2≤0

，解得m≥3或m≤-3．

點評：本題考查了向量共線定理、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、一次函數(shù)的單調(diào)性，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．