已知A、B、C是直線l上不同的三點,O為直線l外任一點,向量
OA
OB
OC
滿足
OA
=[f(x)+2f′(1)]•
OB
-1n(x+1)
OC

(1)求函數(shù)y=f(x)的表達式;
(2)若不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3對x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:平面向量數(shù)量積的運算,導數(shù)的運算
專題:平面向量及應用
分析:(1)由A、B、C是直線l上不同的三點,
OA
=[f(x)+2f′(1)]•
OB
-1n(x+1)
OC
.利用向量共線定理可得:f(x)+2f′(1)-ln(x+1)=1,再求導即可得出;
(2)不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3?
1
2
x2-ln(1+x2)≤m2-2bm-3
,令h(x)=
1
2
x2-ln(1+x2)
,利用導數(shù)即可得出其最大值.于是m2-2bm-3≥h(x)max對b∈[-1,1]恒成立,再利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答: 解:(1)∵A、B、C是直線l上不同的三點,
OA
=[f(x)+2f′(1)]•
OB
-1n(x+1)
OC

∴f(x)+2f′(1)-ln(x+1)=1,
f(x)=
1
x+1
,∴f(1)=
1
2
,
∴f(x)═ln(x+1).即y=f(x)=ln(x+1).
(2)不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3?
1
2
x2-ln(1+x2)≤m2-2bm-3

令h(x)=
1
2
x2-ln(1+x2)
,則h(x)=x-
2x
1+x2
=
x(x+1)(x-1)
x2+1

當x∈(-1,0)時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;當x∈(0,1)時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減.
∴當x=0時,h(x)max=0.
∴m2-2bm-3≥0對b∈[-1,1]恒成立,即2bm+3-m2≤0.
-2m+3-m2≤0
2m+3-m2≤0
,解得m≥3或m≤-3.
點評:本題考查了向量共線定理、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、一次函數(shù)的單調(diào)性,考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù),且在x=1處存在導數(shù).如函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)滿足f′(x)•lnx=x-
f(x)
x
,則函數(shù)f(x)( 。
A、既有極大值,又有極小值
B、有極大值,無極小值
C、有極小值,無極大值
D、既沒有極大值,又沒有極小值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
x
m(x+2)
(m∈R),方程f(x)=x有唯一解,其中m為常數(shù),又f(a1)=
2
5
,f(an)=an+1(n∈N*).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達式
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式
(Ⅲ)若bn=
4
an
-7且Cn=
b2n+1+b2n
2bn+1bn
(n∈N+),求證:c1+c2+…+cn<n+1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若關于x的方程x2-ax+a2-4=0有兩個正實數(shù)根,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax,a>0,a∈R.
(1)設曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l平行于x軸,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)的區(qū)間[0,1]上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)定義于閉區(qū)間[0,1],滿足f(0)=0,f(1)=1,且對任意x,y∈[0,1],x≤y,都有f(
x+y
2
)=(1-a2)f(x)+a2f(y),其中常數(shù)a滿足0<a<1,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=a(a≠3,a∈R),an+1=Sn+3n,n∈N*
(Ⅰ)設bn=Sn-3n ,n∈N*,求{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)若an+1≥a,n∈N*,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和Sn滿足關系式:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(其中t>0,n=2,3,4,…)
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(Ⅱ)設數(shù)列{an}的公比為f(t),作數(shù)列{bn},使b1=1,bn=f
1
bn-1
)(n=2,3,4…),求數(shù)列{bn}的通項公式bn
(Ⅲ)設Tn=b1b2-b2b3+b3b4 -b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一布袋里放有大小相等的兩個白球和一個黑球,有放回地每次摸取一個球,定義數(shù)列{an}:an=
-1,第n次摸到黑球
1,第n次摸到白球
,記X為數(shù)列{an}的前4項之和S4,則EX=
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案